uitleg

Breuken kunnen makkelijk en heel moeilijk zijn. Breuken kun je zien als een deelsom: \( a \div b = \frac{a}{b} \) Dit betekent dat alles wat je bij een deelsom kunt doen, je ook bij een breuk kunt doen - en andersom. Een breuk wordt vaak gebruikt om een deel van iets aan te geven. Het getal onder de lijn (de noemer) geeft aan in hoeveel gelijke delen iets is verdeeld. Het getal boven de lijn (de teller) geeft aan hoeveel van die delen je hebt.

Voorbeeld:
Ik heb 12 dropjes. Ik eet er 5. Ik heb nu \( \frac{5}{12} \) van alle dropjes gegeten.

Als ik er nu nog één eet, heb ik \( \frac{6}{12} \) van alle dropjes gegeten, maar dat zeggen we anders. Bij grote getallen kan zo'n breuk lastig leesbaar zijn, dus maken we de breuk kleiner. Er zijn twee manieren om dat te doen. Ik laat nu de methode zien die ik het makkelijkst vind.

Je wilt de breuk zo klein mogelijk maken zonder de breuk te veranderen. Als je de breuk niet wilt veranderen, moet je gewoon twee regels volgen:
1. Als je iets boven doet, moet je het ook onder doen.
2. Gebruik alleen \( \times \) en \( \div \).
Om het getal zo klein mogelijk te maken, lijkt mij \( \times \) niet nuttig, dus we gaan \( \div \) gebruiken.
Nu moeten we alleen weten door welk getal we moeten delen. Dit kan bij grote getallen moeilijk zijn, maar je moet gewoon kijken wat kan. Bij 6 en 12 is dit niet ingewikkeld. Je kan 6 en 12 bijde delen door 6, dus \( \frac{6 \div 6}{12 \div 6} \), dus \( \frac{1}{2} \). Er is nog een manier om dit te doen maar die laat ik later zien.

Maar terug naar het voorbeeld: ik heb dus \( \frac{1}{2} \) van alle dropjes gegeten. Dat betekent niet dat er maar 2 dropjes zijn, want er zijn er 12. Het is nu gewoon verdeeld in andere delen. Het onderste getal geeft aan in hoeveel gelijke delen het verdeeld is, en dat waren er eerst 12 met elk deel 1 dropje. Nu hebben we 2 delen, waarbij elk deel 6 dropjes bevat, en het bovenste getal geeft aan dat we 1 van deze delen hebben (dus die 6 dropjes die we hebben gegeten).

\(+\) en \(-\)

Als je 2 breuken wilt optellen, moet het onderste getal hetzelfde zijn; dat verandert ook niet als je ze optelt. Het bovenste getal maakt niet uit, je hoeft alleen die op te tellen. Dus: onder moet hetzelfde zijn en verandert niet, tel je bovenste getallen op. Hierna moet je de breuk weer kleiner maken, net zoals in de uitleg hierboven.

\[ \frac{5}{12} + \frac{1}{12} = \frac{5+1}{12} = \frac{6}{12}\] \[ \frac{6}{12} = \frac{6 \div 6}{12 \div 6} = \frac{1}{2}\]

Het is iets lastiger als de onderkant niet hetzelfde is, die moet je nu hetzelfde maken. Je wilt de breuk niet veranderen, dus je moet je weer aan de twee regels houden: Alleen \( \times \) en \( \div \) gebruiken en als je iets onder doet moet je het ook boven doen. Sommige zijn makkelijk: als de ene onderkant 3 is en de andere 6, kun je de 3 keer 2 doen om ze allebei 6 te maken. Dat ziet er zo uit.

\[ \frac{2}{3} + \frac{1}{6} = \frac{2 \times 2}{3 \times 2} + \frac{1}{6} = \frac{4}{6} + \frac{1}{6} = \] \[ \frac{4}{6} + \frac{1}{6} = \frac{4 + 1}{6} = \frac{5}{6} \]

Maar als het niet zo makkelijk is, moet je een kleine omweg nemen. Je moet het eerste punt vinden waar ze elkaar tegenkomen in de keertafel. Dit is meestal de tweede keer dat ze elkaar tegenkomen, maar soms zitten ze wat meer verstopt. Bijvoorbeeld bij 6 en 9 is het 18, want \(6 \times 3 = 18\) en \(9 \times 2 = 18\). Als je zo'n getal mist, is dat niet erg. Ikzelf doe altijd de omweg, omdat ze toch allebei werken. Als je je getal hebt gevonden, ga je ervoor zorgen dat allebei de breuken dat getal aan de onderkant hebben. Vergeet hierbij de regels niet.

\[ \frac{1}{4} + \frac{2}{5} = \frac{1 \times 5}{4 \times 5} + \frac{2 \times 4}{5 \times 4} = \frac{5}{20} + \frac{8}{20}\] \[ \frac{5}{20} + \frac{8}{20} = \frac{5 + 8}{20} = \frac{13}{20}\]

Voor min werkt het hetzelfde, maar in plaats van de plus aan de bovenkant is het nu een min.

\[ \frac{2}{5} - \frac{1}{4} = \frac{2 \times 4}{5 \times 4} - \frac{1 \times 5}{4 \times 5} = \frac{8}{20} - \frac{5}{20}\] \[ \frac{8}{20} - \frac{5}{20} = \frac{8 - 5}{20} = \frac{3}{20} \]

\( \times \) en \( \div \)

Breuken keer een getal doen is niet lastig. Je brengt gewoon de keer naar boven en rekent dan normaal uit. Niet vergeten om de breuk weer kleiner te maken als je klaar bent.

\[ \frac{2}{9} \times 3 = \frac{2 \times 3}{9} = \frac{6}{9} \] \[ \frac{6}{9} = \frac{6 \div 3}{9 \div 3} = \frac{2}{3} \]

Breuk keer breuk is ook niet lastig. Normaal zou er een hele omweg zijn, maar lang geleden was er iemand die een trucje vond. Je kunt gewoon de bovenkanten en onderkanten met elkaar vermenigvuldigen.

\[ \frac{2}{3} \times \frac{4}{9} = \frac{2 \times 4}{3 \times 9} = \frac{8}{27} \]

Als je een breuk moet delen door een getal, lijkt dat lastig, maar dat is het niet. Je doet gewoon het onderste getal keer het getal waar je door wilde delen.

\[ \frac{3}{4} \div 2 = \frac{3}{4 \times 2} = \frac{3}{8}\]

Breuk delen door breuk lijkt heel erg op breuk keer breuk. Het enige wat je moet doen, is de tweede breuk ondersteboven zetten en het delen door in een keer veranderen.

\[ \frac{3}{7} \div \frac{2}{5} = \frac{3}{7} \times \frac{5}{2}\] \[ \frac{3}{7} \times \frac{5}{2} = \frac{3 \times 5}{7 \times 2} = \frac{15}{14} = 1\frac{1}{14} \]